Die Suche nach Rechtecken in einem Quadrat

Lisanne Taams, Studentin an der Radboud University in den Niederlanden, arbeitet an einem Ph.D. etwa, in ihren Worten, „Motive von Modulstapeln von Vektorbündeln auf Stapelkurven berechnen“.

„Ich habe zwei Jahre gebraucht, um das überhaupt richtig sagen zu können“, sagte Frau Taams. Aber, fügte sie hinzu, solche Höhen der Abstraktion steigerten ihre Freude nur, als sie kürzlich Zeit mit einer konkreteren Betrachtung verbrachte: dem Zählen der Möglichkeiten, wie ein Quadrat in ähnliche Rechtecke unterteilt werden kann.

Sie fand dieses geometrische Puzzle auf Mathstodon, einer Community innerhalb des sozialen Netzwerks Mastodon. Im Frühjahr 2017 von zwei Mathematikern in England, Christian Lawson-Perfect und Colin Wright, erstellt, beliefen sich die registrierten Konten auf Mathstodon im September auf insgesamt etwa 3.000. Seitdem ist die Zahl mit dem Twitter-Exodus auf rund 13.000 gestiegen.

Das Rätsel wurde im Dezember von John Carlos Baez, einem mathematischen Physiker an der University of California, Riverside, veröffentlicht.

„Es gibt drei Möglichkeiten, ein Quadrat in drei Rechtecke mit gleichen Proportionen zu teilen!“ Dr. Baez schrieb.

Er veranschaulichte die Antwort mit drei Bildern, die er von Wikipedia entlehnt hatte:

Im Bild links sind die Rechtecke dreimal so lang wie breit, erklärte er in einer E-Mail. Im mittleren Bild sind die Rechtecke eineinhalb Mal so lang wie breit. „Die dritte Lösung ist kniffliger“, sagte Dr. Baez. Die Rechtecke sind „etwa 1,75487-mal so lang wie breit, obwohl ein Rechteck umgedreht ist, damit es kurz und gedrungen ist“, fügte er hinzu.

Dr. Baez bemerkte, dass die Zahl 1,75487 für Mathematiker von Interesse ist. „Es ist das Quadrat des ‚plastischen Schnitts‘“, sagte er, „eine Zahl, die viele Eigenschaften hat, die dem bekannteren ‚Goldenen Schnitt‘ ähneln.“

Nachdem er diese Grundlage gelegt hatte, fragte Dr. Baez seine Mathstodon-Anhänger: „Was wäre, wenn Sie ein Quadrat in vier ähnliche Rechtecke zerteilen? Welche Proportionen können sie haben?“

Einer der ersten, der den Köder annahm, war Rahul Narain, ein Informatiker am Indian Institute of Technology in Delhi. „Ich war auf Mastodon, bevor es cool war“, sagt er in seiner Biografie (er trat im Dezember 2017 bei). „Und die Tatsache, dass jetzt all die coolen Leute hier sind, ist ein bisschen beunruhigend.“

Dr. Narain skizzierte eine systematische Strategie zur Lösung des Rätsels, obwohl er hoffte, dass jemand anderes sie ausführen würde. Wie er in seiner Antwort an Dr. Baez sagte: „Ich habe wirklich andere Dinge, an denen ich gerade arbeiten muss, ich kann es mir nicht leisten, noch mehr von Nerds geschnippelt zu werden!“

Es stellte sich heraus, dass es 11 Lösungen gab – 11 Möglichkeiten, wie ein Quadrat in vier Rechtecke mit ähnlichen Proportionen geteilt werden kann. Die Lösungen häuften sich nach und nach mit entscheidendem Input von Ian Henderson, einem unabhängigen Softwareentwickler in der Bay Area, und Daniel Piker in Bristol, England, der als Analyst für Designsysteme arbeitet und Software für Architekten bei Foster + Partners entwickelt.

Und viele andere Leute haben auch geholfen, sagte Dr. Baez. „Deshalb hat es Spaß gemacht.“

Frau Taams fand 11 Lösungen von Hand und stellte bald fest, dass ihr einige Fehler unterlaufen waren. Sie beschloss dann, den Computer die Arbeit machen zu lassen. Sie schrieb Software und generierte einige Bilder. Aber als sie den Fortschritt online überprüfte, „sah ich, dass andere Leute schon viel mehr Bilder hatten“, sagte Frau Taams.

Herr Piker, der gerne geometrische Animationen erstellt, hatte alle 11 Optionen gezeichnet:

Die Einfachheit des Problems hat ihn angezogen. „Ich fand es irgendwie cool, dass es etwas so Einfaches gab, das anscheinend noch nie zuvor betrachtet worden war“, sagte Mr. Piker.

Er fügte jedoch hinzu: „Die Mathematik ging schnell über mein Verständnis hinaus.“

Er konnte einen von Frau Taams geposteten Beweis nachvollziehen, obwohl er ihn nicht so leicht hätte vorlegen können. Sie veröffentlichte einen 11-teiligen Thread – mit technischen Passagen, die mit LaTeX, einer wissenschaftlichen Satzsprache, verfasst wurden – und zeigte, dass dieses bescheidene Geometrierätsel mit ernsthafterer und formalerer Mathematik verbunden ist.

Mit anderen Worten, sie lieferte einen Beweis dafür, dass das Verhältnis der langen Seiten zu den kurzen Seiten „algebraische Zahlen“ sind, ein wichtiges Thema in der Zahlentheorie.

„Ich glaube nicht, dass wir der Sache auch nur annähernd auf den Grund gegangen sind“, sagte Dr. Baez. „Aber es ist ein guter Schritt.“

Sarah Hart, Mathematikerin an der Birkbeck University of London – deren Buch „Once Upon a Prime“, das die Zusammenhänge zwischen Mathematik und Literatur untersucht, im April herauskommt – nannte diese Rechteckrekonstruktion „fantastisch“ und „lieblich“. (Sie hatte nicht an der Verfolgung durch Mathstodon teilgenommen.)

„Was macht ein Problem schön?“ Sie sagte. „Das ist eine schwierige Frage.“ Für Dr. Hart hilft es, wenn das Problem einfach zu beschreiben und leicht zu spielen ist – „mit einfachen Beispielen kann man sich sofort die Hände schmutzig machen.“ Und wenn es „köstlich komplex und herausfordernd“ wird.

Dr. Hart merkte auch an, dass „viele der interessantesten Probleme von Nachbildungen wie dieser herrühren“.

Frau Taams fand ihren Beweis rechnerisch und dachte dann weiter darüber nach. Die Berechnungen ergaben eine Reihe von Gleichungen, sagte sie. „Und dann fragt man sich: ‚Oh, sind das alle Gleichungen? Ja oder nein?’“ Sie überzeugte sich, dass die Antwort „Ja“ lautete, indem sie sich nur drei Beispiele ansah. „Es ist ein bisschen schwer zu argumentieren, warum. Wenn Sie auf die Bilder starren, sehen Sie es irgendwie.“

(Formeller bewies Frau Taams, dass bei der Durchführung einer ähnlichen Rechteckung eines Quadrats – das heißt, es in eine Anzahl N ähnlicher Rechtecke zu teilen – das Verhältnis eine algebraische Gradzahl von höchstens N ist.)

Die Online-Diskussion drehte sich irgendwann zu einer ähnlichen Untersuchung über die „Quadratur des Quadrats“ von William Tutte und seinen Mitarbeitern in den 1930er Jahren, die mit der Theorie elektrischer Schaltungen zusammenhängt.

„Es stellt sich heraus, dass Sie sich die Höhe und Breite jedes Quadrats in Bezug auf Spannung und Strom in einem elektrischen Stromkreis vorstellen können – und damit können Sie Wege finden, das Quadrat unter Verwendung der Theorie elektrischer Schaltkreise zu quadrieren“, sagte Dr. Baez per Email. „So etwas gilt auch für das Rectangle-Dissektionsproblem, aber wir haben es noch nicht ausgenutzt.“

David Eppstein, ein Informatiker an der University of California, Irvine, kommentierte, dass der Begriff „Guillotine-Partition“ die übliche Art ist, den Prozess des rekursiven vertikalen oder horizontalen Abschneidens rechteckiger Stücke von einem Quadrat zu beschreiben. Jules Hedges, Informatiker an der University of Strathclyde, Glasgow, schlug vor, dass „Mondrian“ – nach dem niederländischen abstrakten Künstler Piet Mondrian – auch ein passender Name für diesen Prozess sein könnte. Dies veranlasste Stefano Gogioso, Informatiker an der Universität Oxford, darauf hinzuweisen, dass „im maschinellen Lernen Mondrian-Bäume/Wälder verwendet werden, um eine bestimmte Art der Klassifizierung zu bezeichnen, die durch Guillotine-Schnitte durchgeführt wird“.

Zurück zu den 11 Vier-Wege-Rechtecken: Dieses Ergebnis wurde mit zwei Code-Batches bestätigt, einem von Dr. Narain, der alle Guillotine-Partitionen aufzählt und testet, und einem von Mr. Henderson, der einen komplizierteren Ansatz verwendet.

Sie hörten hier nicht auf.

„Die Frage tauchte in meinem Kopf auf: ‚Oh, was ist mit fünf? Was ist mit sechs?’“, sagte Mr. Henderson.

Sowohl er als auch Dr. Narain fanden 51 Lösungen, als es darum ging, ein Quadrat in fünf ähnliche Rechtecke zu unterteilen:

Herr Henderson fand 245 mögliche rechteckige Proportionen, die ein Quadrat in sechs ähnliche Rechtecke unterteilen, und 1.371 Optionen für sieben ähnliche Rechtecke. Anfangs gab er acht Rechtecke auf – er versuchte es, aber das Programm lief einfach weiter. Irgendwann ging ihm der Speicher aus.

“Ich habe es aus meinem System bekommen”, sagte er.

Aber dann kehrte er zurück und ging zur Fehlersuche und stellte fest, dass etwas mit dem Code für acht Rechtecke nicht stimmte. „Auf jeden Fall läuft es mit diesem Fix tatsächlich zu Ende“, sagte Mr. Henderson in seiner E-Mail. „Es gibt (laut Code mindestens) 8.506 verschiedene Seitenverhältnisse für acht Rechtecke.“ Er kann es um neun versuchen.